Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Многообразие обобщений теоремы Птолемея


Н.С. Астапов, И.С. Астапов

2019, выпуск 2, С. 129–137


Аннотация
В статье исследуются метрические свойства общего четырехвершинника (тетрона), частными случаями которого являются треугольник, плоский и пространственный четырехугольники, а также тетраэдр. Доказана основная теорема о связи длин сторон, величин плоских углов и величины двугранного угла тетрона. Следствиями этой теоремы являются многие замечательные теоремы о треугольниках, четырехугольниках и тетраэдрах. Отдельное внимание уделено равногранным тетраэдрам.

Ключевые слова: площадь произвольного четырехугольника, равногранный тетраэдр, теорема о четырехвершиннике, теорема Бретшнейдера, неравенство Птолемея, неравенство Брахмагупты

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Г.С.М. Кокстер, С.Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией, Наука, М., 1978.
[2] В.В. Прасолов, Задачи по планиметрии, Ч. II, Наука, М., 1986.
[3] В.В. Прасолов, Задачи и теоремы линейной алгебры, Наука, Физматлит, М., 1996.
[4] Н.С. Астапов, А.В. Жуков, “Замечательный четырехвершинник”, Квант, 1, (1996), 45–47.
[5] Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом, Избранные задачи и теоремы планиметрии, Наука, М., 1967.
[6] И.Я. Бакельман, Инверсия, Наука, М., 1966.
[7] Н.С. Астапов, “Теорема о четырехвершиннике”, Математическое образование, 2, (2000), 22–28.
[8] N.S. Astapov, N.C. Noland, “The Remarkable Tetron”, American Mathematical Monthly, 108:4, (2001), 368–370.
[9] С. Страшевич, Е. Бровкин, Польские математические олимпиады, Мир, М., 1978.
[10] В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин, Задачи по стереометрии, Наука, Физматлит, М., 1989.
[11] Г. Штейнгауз, Сто задач, Наука, Физматлит, М., 1976.
[12] И.М. Яглом, Геометрические преобразования, т. II, Гос. изд-во техн.-теорет. литературы, М., 1956.
[13] Д. Ефремов, Новая геометрия треугольника, Типография М. Шпенцера, Одесса, 1902.
[14] Элементы математики в задачах. Через олимпиады и кружки – к профессии, ред. А.А. Заславского, А.Б. Скопенкова и М.Б. Скопенкова, МЦНМО, М., 2018.
[15] Shay Gueron, “Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem”, American Mathematical Monthly, 109:4, (2002), 362–370.

К содержанию выпуска